Розрахункова робота на тему: “Векторна алгебра”ВЕКТОРНА АЛГЕБРА - розділ векторного числення в якому вивчаються найпростіші операції над (вільними) векторами. До числа операцій відносяться лінійні операції над векторами: операція додавання векторів і множення вектора на число. Сумою a+b векторів a і b називають вектор , проведений з початку a до кінця b , якщо кінець a і початок b сполучені. Операція додавання векторів має властивості: a+b=b+a (комутативність) (а+b)*з=а*(b+с) (асоціативність) a + 0=a (наявність нульового елементу ) a+(-a)=0 (наявність протилежного елементу), де 0 - нульовий вектор, -a є вектор, протилежний вектору а. Різницею a-b векторів a і b називають вектор x такий, що x+b=a. Добутком (x вектора а на число ( у випадку ((0, а(Про називають вектор, модуль якого дорівнює |(||a| і який спрямований у ту ж сторону, що і вектор a, якщо (>0, і в протилежну, якщо (<0. Якщо (=0 чи (і) a =0, то (a=0. Операція множення вектора на число має властивості: (*(a+b)= (*a+(*b (дистрибутивність щодо додавання векторів) ((+u)*a=(*a+u*a (дистрибутивність щодо додавання чисел) (*(u*a)=((*u)*a (ассоциативність) 1*a=a (множення на одиницю) Безліч усіх векторів простору з введеними в ньому операціями додавання і множення на число утворить векторний простір (лінійний простір). У Векторній алгебрі важливе значення має поняття лінійної залежності векторів. Вектори а, b, … , с називаються лінійно залежними векторами, якщо існують числа (, (,…,(з який хоча б одне відмінно від нуля, такі, що справедливо рівність: (a+(b+…(c=0. (1) Для лінійної залежності двох векторів необхідна і достатня їх коллінеарність, для лінійної залежності трьох векторів необхідна і достатня їх компланарність. Якщо один з векторів а, b, ...,c нульовий, то вони лінійно залежні. Вектори a,b, ..,з називаються лінійно незалежними, якщо з рівності (1) випливає, що числа (, (,…,(дорівнюють нулю. На площині існує не більш двох, а в тривимірному просторі не більш трьох лінійно незалежних векторів. Сукупність трьох (двох) лінійно незалежних векторів e1,e2,e3 тривимірні простори (площини), узятих у визначеному порядку, утворить базис. Любою вектор а єдиний образ представляється у виді суми: a=a1e1+a2e2+a3e3. Числа a1,a2,a3 називають координатами (компонентами) вектора а в даному базисі і пишуть a={a1,a2,a3}. Два вектори a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхній відповідні координати в тому самому базисі. Необхідною і достатньою умовою коллінеарності векторів a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} ,b(0, є пропорційність їхній відповідних координат: a1=(b1,a2=(b2,a3=(b3. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} і c={c1,c2,c3} є рівність : | a1 a2 a3 | | b1 b2 b3| = 0 | c1 c2 c3 | Лінійні операції над векторами зводяться до лінійних операцій над координатами. Координати суми векторів a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} дорівнюють сумам відповідних координат: a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координати добутку вектора а на число ( дорівнюють добуткам координат а на ( : (а= {(а1,(a2, (a3}. Скалярним добутком (а, b) ненульових векторів а і b називають добуток їхніх модулів на косинус кута ( між ними: (а, b) = | а |*| b | cos(. За ( приймається кут між векторами, не переважаючий (. Якщо а=0 чи b=0, то скалярний добуток думають рівним нулю. Скалярний добуток має властивості: (a, b)= (b, а) (коммутативність), (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивність щодо додавання векторів), ((a,b)=( (a,b) =(a,(6) (сочетательність щодо множення на число), (a,b)=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи a(b. Для обчислення скалярних добутків векторів часто користаються декартовими прямокутними координатами, тобто координатами векторів у базисі, що складається з одиничних взаємно ...